| Joost S.H. Gieskes,
donderdag 20 juli 2023 |
 |
| 87 sec |
De fascinerende meetkunde van bomen
Bij het televisiespelletje Eén tegen 100* wist de speler alle 100 opponenten weg te spelen op één na. Toen kwam de beslissende vraag. De speler moest als antwoord kiezen tussen het woord 'parallellopipedum' en 'fractaal'. Hij koos het eerste woord. Het was fout.....Had hij maar 'fractaal' gekozen. Dan had hij een klein fortuin gewonnen.
Maar wat is dat eigenlijk, een fractaal (ook als fractal geschreven)? En wat heeft dat met een boom te maken? Google eens op het woord 'fractal' en een fascinerende wereld gaat voor u open.
De fractaal
Een fractaal is een soort meetkundige figuur opgebouwd uit delen die (min of meer) gelijkvormig zijn en waarbij de figuren of vormen zich op steeds kleinere schaal herhalen. In de natuur komen ze veel voor zoals een schelp, een dennenappel, een sneeuwvlok, een blad van een boom, takken, zelfs sterrenstelsels. Een aansprekend voorbeeld zijn deze schelp en deze dennenappels waarin die herhaling goed is te zien:
Hier beperken we ons tot de boom, en wel de meest voorkomende vorm van de kroon van - vooral solitaire- bomen wel te verstaan die zich ook als een fractaal ontwikkelt.
De takken van een boom vormen bij hun groei steeds weer twee nieuwe takjes, en die ook weer, en ook weer, steeds weer die herhaling van nieuwe vertakkingen, typerend voor een fractaal. zie voorbeeld.
De boom vertakt zich steeds verder. Op het eind ontstaat er aldus een bepaalde vorm van de boom. De Nederlandse wiskundige Albert Posman heeft dat (in 1942) leuk aangetoond met een constructie van oneindig veel vierkantjes die resulteerde in de onderstaande vorm die hij de Boom van Pythagoras noemde:
En inderdaad, als men naar de bomen kijkt, en vooral naar bomen die zich vrij hebben kunnen ontwikkelen, zal men deze ronde vorm steeds terug zien. De wandelaar wordt bij zijn tocht geconfronteerd met fractalen, ditmaal dus van de bomen!
Bomen die een beetje in de verdrukking staan proberen die vorm te bereiken. Soms vormen bomen een gezamenlijke ronde kroon. Maar zelfs een hoog opgaande smalle Italiaanse populier groeit op als een fractaal.
Er zijn bomen inderdaad met een totaal andere vorm, maar dat zijn meestal gekweekte versies, ook cultivars genoemd.
Vermoedelijk zullen in ieder geval geïnteresseerde lezers voortaan vaker naar onze fractale bomen kijken, met beter begrip waarom hun kroon toch zo rond is. Of waarom juist niet, want dat komt ook voor.
Een beschouwing tot slot
Is het heelal, van oneindig klein tot oneindig groot, soms één enorme fractaal? Is het heelal soms één grote wiskundige formule? Zijn wij soms ook fractalen? Zijn wij een formule? Zelfs Einstein geeft het antwoord daar niet op. Een fascinerende gedachte!
*Eén tegen 100, 27 januari 2018
| LOGIN
met je e-mailadres om te reageren.
|
|
|
| Er zijn nog geen reacties. |
Tip de redactie
|
